O číslach: Meranie gorily
Ako pozostalosť z istého dedičstva sa mi dostal do rúk záhadný merací prístroj. Ešteže mal uvedený typ a výrobcu a tak teraz vďaka googlu viem to, čo by mi inak povedal každý študent geodézie: som šťastným majiteľom polárneho planimetra, zariadenia na meranie "veľkosti plochy".
Odmerať plochu bolo výzvou odjakživa, minimálne odvtedy, pokiaľ matematická pamäť siaha. Ešte to bolo celkom jednoduché, ak malo obilné pole obdĺžnikový tvar, o chlp zložitejšie, ak lichobežníkový, trojuholníkový, nebodaj kruhový. Mimochodom, z jedného z najstarších dochovaných textov – Rhindov (Londýnsky) papyrus, 1650 p. n. l. – vieme, že Egypťania počítali plochu kruhu podľa vzorca, z ktorého by sme dnes odvodili, že číslo pí „aproximovali“ hodnotou 3,16.
Vo všeobecnosti je iná situácia, keď chceme vypočítať plochu útvaru „matematicky“ popísaného. Tu rozhodujúci pokrok urobili v 17. storočí tvorcovia infinitezimálnho počtu Isaac Newton a Gottfried Leibniz. Stále však ostáva problém, ako zrátať plochu útvaru, ktorému sme za mojich školských rokov hovorili „krumploid“. Môžeme ho prekryť štvorčekovaným priesvitným papierom a zrátať, koľko štvorčekov je vnútri. Takto, po vynásobení plochy jedného štvorčeka, dostaneme dolný odhad celkovej plochy; zrátaním štvorčekov pokrývajúcich celý útvar, odhad horný. Ak nám presnosť – rozdiel odhadov – nestačí, zoberieme papier s menšími štvorčekmi.
Vypĺňanie útvaru niečím menším, čoho plochu vieme spočítať, je stará technika (je i za myšlienkami vedúcimi k integrálnemu počtu), ktorú vieme úspešne vďaka počítačom uplatniť aj dnes. Sú však aj nezvyklejšie spôsoby ako plochu merať. Napríklad metódou Monte Carlo – náhodne „triafame“ na papier s nakresleným útvarom a rátame, koľkokrát sme zasiahli „krumploid“. Ak hádžeme skutočne náhodne a dostatočne dlho, z úspešnosti vieme odvodiť plochu.
No sú aj bizarnejšie metódy: mohli by sme náš útvar vystrihnúť a porovnať váhy oboch papierov, mohli by sme v grafickom programe útvar vyplniť farbou a plochu zrátať pomocou histogramu. A podobne. Fantázii sa medze nekladú. Ale vráťme sa k môjmu planimetru. Keď som videl na youtube, ako funguje – stačí pomocou ramena opísať hranice predmetného útvaru, pol dňa som strávil štúdiom (nie celkom triviálnej) matematiky, na ktorej sa ich funkcia zakladá. Mimochodom, od začiatku mi bolo jasné, že hranica jednoznačne určuje plochu tak, ako ju neurčuje napríklad pomer strán či uhlov pri trojuholníku.
Nič menej, zdá sa, že napriek všeobecnej digitalizácii sa éra planimetrov ešte neskončila. Zememerači (mapomerači či iných obrázkov merači) majú k dispozícií popri rôznych mechanických, ktorých dizajn má viac ako 150 rokov, dokonca i digitálne. A načo je to v súčasnosti ešte dobré? Napríklad z fotografie niektorého zo slovenských „demonštrujúcich“ námestí, môžeme vypočítať „obsadenú“ plochu, tú vynásobiť hustotou „hláv“ a počtom stupňov pod nulou (plus jedna) a dostaneme číselne vyjadrenie toho, koľkí tam majú radi gorily.